Математическое моделирование

Математическое моделирование – это получение решений уравнений, составляющих математическую модель объекта, при изменении начальных и граничных условий этих уравнений. Решениями систем дифференциальных уравнений являются функции, подстановкой в которые значений аргументов можно находить величину параметров, характеризующих поведение объекта в пространстве и времени (вообще говоря – в фазовом пространстве). Если модель состоит из алгебраических уравнений, то их решение дает непосредственно значения параметров данного объекта.

Математическое моделирование большинства технических объектов осуществляют на микро-, макро- и мегауровнях, которые отличаются степенью детализации рассмотрения процессов в объекте.

Математическая модель технического объекта на микроуровне – это система дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), которая описывает процессы в сплошной среде вместе с заданными краевыми условиями (совокупностью начальных и граничных условий). Система уравнений, как правило, известна, но краевые условия полностью обычно не заданы. Более того, определение краевых условий иногда является конечной целью исследования.

Поскольку ДУЧП в большинстве случаев не поддаются аналитическому решению, то при моделировании используются различные численные методы решения. В технических науках это обычно метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов (МГЭ).

В МКР дифференциальные операторы заменяются их разностными аналогами.

Область исследования разбивается на конечное число узлов при помощи сетки. В узлах сетки находятся приближенные значения искомой функции путем решения системы алгебраических уравнений, к которым сводятся конечные разности. Несмотря на свою кажущуюся простоту, МКР не нашел широкого применения в ОМД из-за следующих своих недостатков:

1. Дискретизация области производится регулярной сеткой, что затрудняет точное описание границ нелинейной формы. При измельчении сетки возникает проблема сходимости – приближенное решение перестает сходиться к точному решению дифференциальной задачи.
2. Сложность построения сходящейся разностной схемы из-за проблем с точностью и устойчивостью решения.

Этих недостатков лишен МКЭ, вследствие чего он в настоящее время считается самым эффективным методом решения задач ОМД. В отличие от МКР здесь аппроксимируются не производные, а само решение. Искомая функция заменяется кусочно-непрерывной (сплайном), определенной на множестве конечных элементов достаточно произвольной формы, что позволяет хорошо описывать граничные условия сложной геометрии. Значения функции в узлах находятся или минимизацией функционала, описывающего данную задачу, или же методом Галеркина при использовании исходного дифференциального уравнения. При этом не накладывается никаких ограничений на вид уравнения, что позволяет применять МКЭ для решения нелинейных задач, в частности, теории пластичности.

По точности получаемых результатов МКР и МКЭ теоретически примерно равноценны.

Сущность МГЭ – в переходе от исходных ДУЧП к эквивалентным интегральным уравнениям. Если такой переход возможен, то тогда решение получается с минимальными вычислительными затратами и с более высокой точностью, чем МКЭ. Важно, что в МГЭ размерность задачи уменьшается на единицу: плоские задачи становятся одномерными, а объемные – плоскими. Граничными элементами аппроксимируется не область, а ее граница, откуда и название метода. Недостаток МГЭ – ограниченность области его применимости классом линейных или линейных относительно приращений задач. Поэтому он особенно широко применяется в линейной теории упругости.

Математической моделью технического объекта на макроуровне является система ОДУ с заданными начальными условиями или система алгебраических уравнений, являющихся решениями ОДУ. Примером может служить система уравнений, описывающих технологический процесс ОМД, которая включает уравнения скоростного и температурного режима деформирования, уравнения энергосиловых параметров процесса и режим деформирования как источник исходных данных.

На мегауровне моделируются в основном две категории технических объектов: системы автоматического управления сложными объектами (например, цехом) и системы массового обслуживания.